Surface Code

2 次元格子上の最近接相互作用だけで実装できる誤り訂正符号。 現在最も有力視されている。

構造#

データ量子ビットを格子状に並べ、 その間に測定用の補助量子ビットを置く。

• $X$ スタビライザ … 周囲 4 個のデータビットの $X$ パリティ
• $Z$ スタビライザ … 周囲 4 個の $Z$ パリティ

各スタビライザは隣接する 4 量子ビットにしか作用しない。 これが実装上の決定的な利点で、 超伝導回路のような最近接接続のハードウェアにそのまま載る。

誤り訂正の流れ#

1. スタビライザを繰り返し測定する
2. 測定値が変化した箇所（シンドローム）を記録する
3. デコーダが誤りの位置を推定する（最小重み完全マッチングなど）
4. 訂正を適用する（実際にはソフトウェア上で追跡する）

デコードは古典計算で、リアルタイムに間に合う必要がある。 これ自体が工学的な課題になっている。

しきい値#

物理誤り率が約 1% を下回れば、 符号距離 $d$ を上げるほど論理誤り率が指数的に下がる。

$$p_L\sim {\left(\frac{p}{p_{\text{th}}}\right)}^{\lfloor (d+1)/2\rfloor }$$

この 1% という比較的緩いしきい値が、 surface code が有力とされる最大の理由。 他の符号はより厳しいしきい値を要求する。

代償#

• 1 論理量子ビットに $𝒪(d^2)$ の物理量子ビット。 $d=25$ なら 1000 個超
• 横断的に実装できるゲートが限られる。 $T$ ゲートには魔法状態蒸留が必要で、これが資源の大半を占める

実験の進展#

Google は 2023 年に距離 5 の符号が距離 3 より 論理誤り率が低いことを示し、 2024 年には距離 7 まで拡張して 符号距離を上げるほど改善する領域に入ったと報告した。

参考文献#

• Austin G. Fowler et al. Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation. Physical Review A 86(3), 2012. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.86.032324
• Rajeev Acharya et al. (Google Quantum AI). Suppressing quantum errors by scaling a surface code logical qubit. Nature 614, 2023. https://doi.org/10.1038/s41586-022-05434-1
• Rajeev Acharya et al. (Google Quantum AI). Quantum error correction below the surface code threshold. Nature 638, 2025. https://doi.org/10.1038/s41586-024-08449-y