位相反転誤り

$$Z|0⟩=|0⟩,Z|1⟩=-|1⟩$$

古典には存在しない、量子特有の誤り。

計算基底では見えない#

$Z$ 誤りが起きても、計算基底での測定確率は変わらない。

$$|\alpha {|}^2,|\beta {|}^2\text{は不変}$$

しかし相対位相が変わるので、 その後の干渉が壊れる。 量子アルゴリズムは干渉に依存しているため、 結果が誤る。

基底を変えれば同じ問題#

アダマール基底 $|\pm ⟩$ で見ると

$$Z|+⟩=|-⟩,Z|-⟩=|+⟩$$

$X$ 基底でのビット反転になっている。

$$Z=HXH$$

したがって、 $H$ で基底を変えてからビット反転符号を使えば 位相反転を訂正できる。

$$|0{⟩}_L=|+++⟩,|1{⟩}_L=|---⟩$$

シンドロームは $X_1{X}_2$、$X_2{X}_3$ を測る。

両方を訂正するには#

ビット反転符号と位相反転符号を連結する。 これが Shor の 9 量子ビット符号で、 最初の完全な量子誤り訂正符号になった。

実機での重要性#

多くの実装で$T_2$（位相緩和）が $T_1$（エネルギー緩和）より短い。 つまり位相の誤りの方が起きやすい。 位相反転の訂正が実用上とりわけ重要になる。

参考文献#

• Peter W. Shor. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Physical Review A 52(4), 1995. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.52.R2493
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Barbara M. Terhal. Quantum error correction for quantum memories. Reviews of Modern Physics 87(2), 2015. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.87.307