Trotter分解 — 知識ノート

交換しない演算子の指数関数を、各項の指数関数の積で近似する手法。

e^{- i (A + B) t} \approx {(e^{- i A t / n} e^{- i B t / n})}^{n}

$n \to \infty$ で厳密（Lie-Trotter の公式）。

誤差#

1 次の Trotter 分解の誤差は

‖ e^{- i (A + B) t} - {(e^{- i A t / n} e^{- i B t / n})}^{n} ‖ = 𝒪 (\frac{t^{2} ‖ [A, B] ‖}{n})

交換子の大きさが誤差を決める。 $[A, B] = 0$ なら分解は厳密になる。

対称化すると精度が上がる（2 次の Suzuki-Trotter）。

e^{- i A t / 2} e^{- i B t} e^{- i A t / 2} 誤差 𝒪 (t^{3} / n^{2})

Suzuki の再帰的構成により任意の次数が作れるが、高次ほど 1 ステップのゲート数が増えるので、 総ゲート数が最小になる次数を選ぶことになる。

各 $e^{- i H_{k} t}$ は、パウリ項なら CNOT で挟んだ回転ゲートとして実装できる。

CNOT ... CNOT — Rz(2θ) — CNOT ... CNOT

Trotter ステップ数を増やすと精度は上がるが、 回路が深くなりノイズが増える。 NISQ 期には最適なステップ数が存在し、それ以上刻むと誤りが精度改善を上回る。

Childs らは、実際の Trotter 誤差が最悪ケースの見積もりよりずっと小さいことを示した。物理的なハミルトニアンでは交換子の構造が効くためで、 Trotter は理論上の劣位ほど実用上不利ではない。

Masuo Suzuki. Generalized Trotter's formula and systematic approximants of exponential operators. Communications in Mathematical Physics 51, 1976. https://doi.org/10.1007/BF01609348
Andrew M. Childs et al. Theory of Trotter Error with Commutator Scaling. Physical Review X 11(1), 2021. https://doi.org/10.1103/PhysRevX.11.011020
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667