時間発展 — 知識ノート

| ψ (t) ⟩ = U (t) | ψ (0) ⟩, U (t) = e^{- i H t / ℏ}

ユニタリであること#

$H$ がエルミートなら $U$ はユニタリ。確率が保存され、時間発展は可逆になる。

U (- t) = U {(t)}^{†} = U {(t)}^{- 1}

$H$ の固有状態で展開すると

| ψ (t) ⟩ = \sum_{n} c_{n} e^{- i E_{n} t / ℏ} | n ⟩

各成分の位相が固有エネルギーの速さで回るだけ。 確率 $| c_{n} |^{2}$ は変わらない。

固有状態そのものは位相しか変わらないので定常状態と呼ばれる。時間変化が現れるのは、複数の固有状態が重ね合わさっているとき。その干渉（ $E_{n} - E_{m}$ による唸り）が観測される変化になる。

$H$ が時間に依存する場合、 $e^{- i H t}$ とは書けない。

U (t) = 𝒯 \exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} H (s) d s)

$𝒯$ は時間順序積。異なる時刻の $H$ が交換しないため順序が要る。

量子アニーリングはまさにこの時間依存の場合で、断熱定理がゆっくり変化させる根拠になっている。

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280