ユニタリ行列

$$U^{†}U=U{U}^{†}=I⟺U^{-1}=U^{†}$$

直交行列の複素版。

長さを保つ#

$$\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert ,⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$$

複素空間での「回転」。内積を保つので、 状態どうしの関係が変わらない。

なぜ量子ゲートはユニタリなのか#

量子状態は $⟨\psi |\psi ⟩=1$ を満たす単位ベクトル。 これは全測定結果の確率の和が 1 という意味。

時間発展でこれが壊れてはいけないので、 状態を変換する演算は長さを保つ必要がある。 それがユニタリ性。

系として

• 量子計算は可逆 — $U^{-1}=U^{†}$ が常に存在する
• 情報を捨てられない — 古典の AND のような 非単射な演算はそのまま使えない
• 測定だけが例外 — 測定は非ユニタリで、不可逆

時間発展との関係#

シュレディンガー方程式の解は

$$U(t)=e^{-iHt/\hslash }$$

$H$ がエルミートなら $U$ は自動的にユニタリになる。 エルミートな生成子が、ユニタリな時間発展を生むという関係。

量子シミュレーションは この $e^{-iHt}$ を量子ゲートの積で近似する問題。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/