固有値問題

$$A|\psi ⟩=\lambda |\psi ⟩$$

量子力学では、これが測定の理論そのものになっている。

測定の公準#

観測量 $A$（エルミート行列）を測ると

• 得られる値は $A$ の固有値 ${\lambda }_i$ のいずれか
• 得られる確率は $|⟨{\psi }_i|\psi ⟩{|}^2$
• 測定後の状態は対応する固有状態 $|{\psi }_i⟩$ に射影される

エルミートだから固有値が実数で、 固有ベクトルが直交基底をなす。 測定結果が実数で、異なる結果が完全に区別できるのはこの性質による。

エネルギー固有値#

ハミルトニアン $H$ の固有値問題

$$H|\psi ⟩=E|\psi ⟩$$

が時間に依存しないシュレディンガー方程式。 最小固有値が基底エネルギー。

量子計算での 2 つの解法#

手法	方式
量子位相推定	固有値を直接読み出す。深い回路が要る
VQE	変分的に最小固有値へ近づく。浅い回路

VQE が NISQ 期に注目されるのは、 量子位相推定に必要な回路の深さが 現在のデバイスでは実現できないため。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280