内積空間

内積空間

執筆済 数学量子計算

内積が定義されたベクトル空間。 完備なものをヒルベルト空間と呼び、量子力学の舞台になる。

複素内積の条件#

⟨ϕ|ψ⟩=⟨ψ|ϕ⟩ ⟨ψ|ψ⟩≥0,⟨ψ|ψ⟩=0⟺|ψ⟩=0

第 1 の条件（共役対称性）により、⟨ψ|ψ⟩ が実数になる。

物理の流儀では第 1 引数に対して共役線形、 数学の流儀ではその逆であることが多い。 文献を読むときに確認が要る点。

量子力学での意味#

式 意味
⟨ψ‖ψ⟩=1 規格化。確率の総和が 1
‖⟨ϕ‖ψ⟩‖2 ‖ψ⟩ を測って ‖ϕ⟩ を得る確率
⟨ϕ‖ψ⟩=0 直交。完全に区別できる状態
⟨ψ‖A‖ψ⟩ 観測量 A の期待値

最後の形が VQE の目的関数。

Cauchy-Schwarz#

|⟨ϕ|ψ⟩|≤‖ϕ‖‖ψ‖

確率が 1 を超えないことの保証になっている。 不確定性関係の導出でもこの不等式が使われる。

参考文献#