確率振幅

量子状態を基底で展開したときの複素係数。

$$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|i⟩,c_i=⟨i|\psi ⟩\in ℂ$$

Born 則#

測定して $|i⟩$ を得る確率は

$$P(i)=|c_i{|}^2$$

規格化 ${\sum }_i|c_i{|}^2=1$ が、確率の総和が 1 であることに対応する。

振幅と確率の違いが本質#

古典確率は非負の実数を足す。振幅は複素数を足してから絶対値二乗を取る。

$${|c_1+c_2|}^2=|c_1{|}^2+|c_2{|}^2+2\mathrm{Re}(\overline{c_1}{c}_2)$$

最後の干渉項が古典には存在しない。 これにより

• 振幅が打ち消し合う（$c_1=-c_2$ なら確率 0）
• 強め合う

量子アルゴリズムの設計とは、誤った答えの振幅を打ち消し、 正しい答えの振幅を強めることに他ならない。 Grover の 振幅増幅がその最も分かりやすい例。

位相の扱い#

位相	観測可能か
大域位相 $e^{i\varphi }|\psi ⟩$	観測できない。同じ状態
相対位相 $c_1$ と $c_2$ の位相差	観測できる。干渉に効く

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ と $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$ は 計算基底で測れば同じ確率分布を与えるが、 アダマール変換してから測れば区別できる。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280