複素ベクトル空間 — 知識ノート

係数が複素数のベクトル空間 $ℂ^{n}$ 。量子状態が住む場所。

実数版との違いは内積だけ#

ベクトルの足し算とスカラー倍は同じ。違うのは内積の定義で、片方に複素共役を取る。

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i} x_{i} y_{i}

これにより $⟨ x, x ⟩ = \sum | x_{i} |^{2} \geq 0$ となり、長さとして使える。共役を取らないと負や複素数になってしまう。

$n$ 量子ビットの状態は $ℂ^{2^{n}}$ の単位ベクトル。

| ψ ⟩ \in ℂ^{2^{n}}, ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1

次元がビット数に対して指数的に増えるのが要点で、 50 量子ビットで $2^{50} \approx 10^{15}$ 次元。古典計算機でそのまま保持できないのはこのため。

$| ψ ⟩$ と $e^{i ϕ} | ψ ⟩$ は 物理的に同じ状態。測定確率が $| ⟨ x | ψ ⟩ |^{2}$ で決まり、 $| e^{i ϕ} |^{2} = 1$ だから。

一方で相対位相は観測できる。 $\frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)$ と $\frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ - | 1 ⟩)$ は別の状態で、適切な基底で測れば区別できる。

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/