エルミート行列

$$A^{†}=A,A^{†}={\overline{A}}^{\top }$$

実対称行列の複素版。

性質#

• 固有値がすべて実数
• 異なる固有値の固有ベクトルが直交する
• ユニタリ行列 $U$ で対角化できる：$A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{†}$

対角成分は $\overline{A_{ii}}=A_{ii}$ より実数。

物理量を表す#

量子力学では、観測できる量（観測量）はエルミート行列で表される。

理由は明快で、測定値は実数でなければならないから。 測定して得られる値は演算子の固有値なので、 固有値が実数である必要があり、それを保証するのがエルミート性。

観測量	演算子
エネルギー	ハミルトニアン $H$
スピン	パウリ行列 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$

VQE との関係#

VQE が最小化する $⟨\psi |H|\psi ⟩$ は、$H$ がエルミートなので実数。 最小値は $H$ の最小固有値（基底エネルギー）に一致する。

これは変分原理そのもので、 どんな状態を試しても最小固有値を下回らないことが保証される。 だから最小化すれば基底状態に近づく。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/