ハミルトニアン

系の全エネルギーを表すエルミート演算子。 $\hat{H}$。

古典力学のハミルトニアン（運動エネルギー + ポテンシャル）を 演算子に置き換えたもの。

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x})$$

2 つの役割#

1. エネルギーの観測量 — 固有値がエネルギー準位。

$$\hat{H}|{\psi }_n⟩=E_n|{\psi }_n⟩$$

最小固有値が基底エネルギー。

2. 時間発展の生成子 — シュレディンガー方程式により

$$U(t)=e^{-i\hat{H}t/\hslash }$$

$\hat{H}$ がエルミートだから $U$ が ユニタリになる。 エネルギーが時間発展を決めるという構造。

量子計算での位置づけ#

場面	ハミルトニアン
量子化学	電子と核の相互作用
最適化	イジング模型。基底状態が最適解
量子アニーリング	初期 $H$ から問題 $H$ へ連続変形
量子シミュレーション	$e^{-iHt}$ を回路で実装

「基底状態を求める」という 1 つの問題に、 量子化学も組合せ最適化も帰着する。 これが量子計算の応用が集中している理由。

パウリ分解#

任意のハミルトニアンはパウリ演算子のテンソル積の和に書ける。

$$H=\sum _k{c}_k{P}_k,P_k\in {\{I,X,Y,Z\}}^{\otimes n}$$

VQE では各項を別々に測定するため、 項数がそのまま測定コストになる。 分子ハミルトニアンでは項数が $𝒪(n^4)$ に達し、 これが実用化の障壁のひとつ。

参考文献#

• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Marco Cerezo et al. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics 3, 2021. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00348-9