波動関数

連続的な自由度（位置など）を持つ系の量子状態を、 位置の関数として表したもの。

$$\psi (x)=⟨x|\psi ⟩$$

Born 則#

$$P(x)dx=|\psi (x){|}^{2}dx$$

波動関数の絶対値二乗が確率密度。 波動関数そのものは複素数で、直接観測できない。

規格化条件

$$\int |\psi (x){|}^{2}dx=1$$

離散と連続#

量子計算では有限次元（$2^n$ 次元）を扱うので、 波動関数ではなく状態ベクトルとして書く。 両者は同じものを、連続基底で見るか離散基底で見るかの違い。

	連続	離散（量子計算）
状態	$\psi (x)$	$\Vert \psi ⟩\in {ℂ}^{2^n}$
規格化	$\int \Vert \psi {\Vert }^{2}dx=1$	$\sum \Vert c_i{\Vert }^2=1$
内積	$\int \overline{\varphi }\psi dx$	$\sum \overline{{\varphi }_i}{\psi }_i$

位相の意味#

$|\psi (x){|}^2$ しか観測できないなら位相は無意味に見えるが、 重ね合わせたときの干渉に効く。 二重スリット実験の干渉縞は、2 経路の波動関数の 相対位相から生じる。

確率振幅の項で述べた 「大域位相は観測できず、相対位相は観測できる」がここでも成り立つ。

参考文献#

• David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter. Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2018. https://doi.org/10.1017/9781316995433
• MIT OCW 8.04 Quantum Physics I https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280