測定

量子系から古典的な情報を取り出す操作。 量子力学で唯一、非ユニタリな過程。

射影測定#

観測量 $A={\sum }_i{\lambda }_i{P}_i$（$P_i$ は射影演算子）を測ると

• 結果 ${\lambda }_i$ が得られる確率 … $P(i)=⟨\psi |P_i|\psi ⟩$
• 測定後の状態 … ${\displaystyle \frac{P_i|\psi ⟩}{\sqrt{P(i)}}}$

測定は状態を変える。 これが古典との決定的な違い。

不可逆で、繰り返せない#

同じ状態を 2 回測ることはできない。 1 回目で状態が壊れるため。

期待値を推定するには、同じ状態を何度も作り直して測る必要がある。 これがVQE で ショット数が実行時間を支配する理由。 $m$ ショットで精度 $𝒪(1/\sqrt{m})$（二項分布）。

基底の選択#

何を測るかはどの基底で測るかで決まる。

基底	測る観測量
$\Vert 0⟩,\Vert 1⟩$	${\sigma }_z$。計算基底
$\Vert +⟩,\Vert -⟩$	${\sigma }_x$

実機は計算基底の測定しか持たないことが多いので、 ${\sigma }_x$ を測りたければ測定前に基底変換のゲートをかける。 VQE でハミルトニアンをパウリ項に分解したあと、 項ごとに異なる測定回路が要るのはこのため。

複製不可能定理#

未知の量子状態を複製するユニタリは存在しない。 線形性から直ちに証明できる。

このため「測る前にコピーしておく」ができない。 量子誤り訂正が古典と根本的に違う設計になる理由でもある。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• William K. Wootters, Wojciech H. Zurek. A single quantum cannot be cloned. Nature 299, 1982. https://doi.org/10.1038/299802a0
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/