Hamiltonian Simulation

$e^{-iHt}$ を量子回路として実装する問題。 量子シミュレーションの中核。

難しさ#

$H={\sum }_k{H}_k$ と項に分かれていても、 項どうしが交換しない（$[H_j,H_k]\ne 0$）ため

$$e^{-iHt}\ne \prod _k{e}^{-i{H}_{k}t}$$

各項の指数関数は簡単に実装できるのに、 単純に掛けても正しくない。

主な手法#

手法	ゲート数	特徴
Trotter-Suzuki	$𝒪(t^{1+1/2k}/{ϵ}^{1/2k})$	単純。実装しやすい
LCU (線形結合)	$𝒪(t\mathrm{polylog}(1/ϵ))$	精度依存が対数
量子ウォーク / qubitization	最適に近い	理論的に洗練
QSVT	統一的な枠組み	多くの手法を包含

精度 $ϵ$ への依存が Trotter では多項式、LCU 以降は対数になるのが大きな違い。 高精度が要る場面では後者が有利。

下限#

時間 $t$ に対して $\mathrm{\Omega }(t)$ のクエリが必要（no fast-forwarding 定理）。 時間発展を「早送り」することはできない。 現代の手法はこの下限にほぼ到達している。

NISQ での現実#

LCU や qubitization は補助量子ビットと深い回路を要するため、 現在の実機では実行できない。 NISQ 期にはTrotter 分解の 浅いステップ数で試すのが現実解になっている。

参考文献#

• Dominic W. Berry et al. Simulating Hamiltonian dynamics with a truncated Taylor series. Physical Review Letters 114(9), 2015. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.090502
• Guang Hao Low, Isaac L. Chuang. Hamiltonian Simulation by Qubitization. Quantum 3, 2019. https://doi.org/10.22331/q-2019-07-12-163
• Iulia M. Georgescu, Sahel Ashhab, Franco Nori. Quantum simulation. Reviews of Modern Physics 86(1), 2014. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.153