シュレディンガー方程式

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$$

量子状態の時間発展を決める方程式。

線形であることが本質#

線形微分方程式なので、 解は指数関数の形になる。

$$|\psi (t)⟩=e^{-i\hat{H}t/\hslash }|\psi (0)⟩$$

線形性から

• 重ね合わせが時間発展でも保たれる
• 時間発展がユニタリになる
• 複製不可能定理が導かれる

時間に依存しない形#

$\hat{H}$ が時間に依存しないとき、変数分離により

$$\hat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩$$

これが時間に依存しないシュレディンガー方程式、 すなわち固有値問題。 量子化学が解こうとしているのはこれ。

解けない#

正確に解けるのは、水素原子や調和振動子などごく限られた場合だけ。 多電子系では解析解が存在しない。

そのため

• 近似する（Hartree-Fock、摂動論）
• 数値的に解く（次元が指数的に増えて破綻）
• 量子計算機で直接シミュレートする（Feynman の着想）

3 番目が量子シミュレーションで、 量子計算の当初からの動機になっている。

参考文献#

• David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter. Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2018. https://doi.org/10.1017/9781316995433
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics 21, 1982. https://doi.org/10.1007/BF02650179