量子シミュレーションの基礎

やること#

初期状態 $|{\psi }_0⟩$ を用意し、 ハミルトニアン $H$ のもとで時間発展させ、観測量を測る。

$$|\psi (t)⟩=e^{-iHt}|{\psi }_0⟩$$

3 段階#

段階	課題
状態準備	興味ある初期状態をどう作るか
時間発展	$e^{-iHt}$ をどう実装するか
測定	何を測れば知りたいことが分かるか

状態準備が難所になることが多い。 基底状態から始めたい場合、それを求めること自体が VQE や QPE の問題になる。

何が分かるか#

• 静的な性質 — 基底エネルギー、相図、秩序変数
• 動的な性質 — 相関関数、輸送係数、緩和過程

動的な性質は古典手法が特に苦手とする（符号問題、実時間発展）ため、 量子シミュレーションの優位性が出やすいと考えられている。

計算量#

$k$-局所なハミルトニアン（各項が高々 $k$ 個の量子ビットに作用）なら、 $e^{-iHt}$ は多項式個のゲートで近似できる。 Lloyd が 1996 年に示した。

これが「量子シミュレーションは効率的」の根拠。 一般のユニタリは指数的なゲートを要するので、 物理的なハミルトニアンの局所性が効いている。

参考文献#

• Seth Lloyd. Universal Quantum Simulators. Science 273(5278), 1996. https://doi.org/10.1126/science.273.5278.1073
• Iulia M. Georgescu, Sahel Ashhab, Franco Nori. Quantum simulation. Reviews of Modern Physics 86(1), 2014. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.153
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667