固有値・固有状態

$$\hat{A}|a⟩=a|a⟩$$

固有状態にある系を測ると、必ず対応する固有値が出る。 確率が 1 に集中する唯一の場合。

測定の理論そのもの#

測定の規則は固有値問題として書かれている。

• 得られる値の候補 = 固有値の集合（スペクトル）
• 測定後の状態 = 対応する固有状態
• 確率 = 固有状態への射影の大きさ

エルミート性により固有値は実数、 固有状態は直交基底をなす。 異なる測定結果に対応する状態は完全に区別できる、 という性質がここから出る。

エネルギー固有状態#

ハミルトニアンの固有状態は定常状態。 時間が経っても位相しか変わらない。

$$|\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩$$

大域位相なので観測可能な性質が変化しない。 最小固有値の状態が基底状態で、 VQE や 量子化学が求めているもの。

縮退#

同じ固有値に複数の固有状態が対応する場合。 測定してもどの状態かは決まらず、 その固有空間への射影になる。

参考文献#

• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667