直交行列 — 知識ノート

Q^{⊤} Q = Q Q^{⊤} = I ⟺ Q^{- 1} = Q^{⊤}

列（と行）が正規直交基底をなす正方行列。

長さと角度を保つ#

‖ Q x ‖ = ‖ x ‖, ⟨ Q x, Q y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

つまり回転と鏡映しかしない。形を変えない変換。 $\det Q = \pm 1$ で、 $+ 1$ が回転、 $- 1$ が鏡映を含む。

直交変換は誤差を拡大しない。条件数が 1 なので、何回掛けても丸め誤差が増幅されない。

このため数値線形代数のアルゴリズムは、可能な限り直交変換で組み立てられる。 QR 分解、SVD、対称行列の固有値分解がその例。

複素版がユニタリ行列 $U^{†} U = I$ 。量子ゲートがユニタリでなければならないのは、 状態ベクトルの長さ（＝確率の総和 1）を保つ必要があるから。直交行列が長さを保つのと同じ理屈。

Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. https://doi.org/10.1137/1.9780898719574
Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/