内積

$$⟨x,y⟩=\sum _i{x}_i{y}_i=x^{\top }y$$

2 つのベクトルから 1 つのスカラーを作る演算。

何を測っているのか#

$$⟨x,y⟩=\Vert x\Vert \Vert y\Vert \cos \theta$$

長さと向きの一致度の積。だから内積が測るのは「どれだけ同じ方向を向いているか」。

• $⟨x,y⟩=0$ … 直交。無関係な方向
• 正 … 同じ側を向いている
• 負 … 逆を向いている

使われ方#

場面	内積が表すもの
射影	$x$ の $y$ 方向成分
ベクトル検索	類似度（コサイン類似度）
勾配降下法	$\nabla f^{\top }d$ が下る方向かの判定
量子測定	$⟨\varphi \Vert \psi ⟩$ の絶対値二乗が確率

複素の場合#

複素ベクトルでは片方に共役を取る。

$$⟨x,y⟩=\sum _i\overline{x_i}{y}_i$$

こうしないと $⟨x,x⟩$ が正の実数にならず、 長さとして使えない。量子力学のDirac 記法 $⟨\varphi |\psi ⟩$ はこの内積を指す。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/