行列の平方根

$$S^2=A$$

を満たす $S$。$A$ が半正定値対称なら、 半正定値対称な平方根が一意に存在する。

求め方#

固有値分解して、対角成分の平方根を取る。

$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\top }⟹A^{1/2}=Q{\mathrm{\Lambda }}^{1/2}{Q}^{\top }$$

固有値が非負であることが必要で、だから半正定値性が前提になる。

コレスキー分解との違い#

$A=L{L}^{\top }$（$L$ は下三角）も「平方根」と呼ばれることがあるが、 $L$ は対称ではないので $L^2\ne A$。

	対称平方根 $A^{1/2}$	コレスキー $L$
形	対称	下三角
計算量	$𝒪(n^3)$（固有値分解）	$𝒪(n^3/3)$、定数が小さい
用途	理論、白色化	標本生成、正定値判定

多変量正規分布から標本を引く用途ならコレスキーで十分で、速い。 $x=\mu +Lz$（$z\sim 𝒩(0,I)$）とすれば $\mathrm{Cov}(x)=L{L}^{\top }=\mathrm{\Sigma }$。

どこで使うか#

• 多変量正規分布からの標本生成
• CMA-ES の $C^{1/2}=BD$

参考文献#

• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 4th ed. Johns Hopkins University Press, 2013. https://www.press.jhu.edu/books/title/10678/matrix-computations
• Nicholas J. Higham. Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM, 2008. https://doi.org/10.1137/1.9780898717778