対角化

$$A=P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1}$$

$\mathrm{\Lambda }$ が固有値を並べた対角行列、 $P$ が固有ベクトルを列に並べた行列。

何が嬉しいのか#

行列の累乗が簡単になる。

$$A^k=P{\mathrm{\Lambda }}^k{P}^{-1}$$

${\mathrm{\Lambda }}^k$ は対角成分を $k$ 乗するだけ。 これにより漸化式、マルコフ連鎖の定常分布、 微分方程式 $\dot{x}=Ax$ の解 $e^{At}$ がすべて解ける。

見方#

対角化は基底の取り替えとして読むのが自然。

1. $P^{-1}$ で固有ベクトルの基底に移る
2. $\mathrm{\Lambda }$ で各方向に伸縮する（それだけ）
3. $P$ で元の基底に戻る

複雑に見えた変換が、適切な座標系では軸方向の伸縮だけになる。

対角化できない場合#

固有ベクトルが $n$ 本揃わないと対角化できない。 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ が典型例。 このときは Jordan 標準形までしか行けない。

ただし対称行列（実）と エルミート行列（複素）は 必ず対角化でき、しかも $P$ を直交／ユニタリに取れる。 実用上現れる行列の多くがこれに該当するので、 対角化は広く使える道具になっている。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/