ベクトル

足し算とスカラー倍ができる対象。 それだけが定義。

$$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$$

「矢印」という説明の限界#

2〜3 次元では矢印として描けるが、それは本質ではない。 線形代数が扱うのは足し算とスカラー倍が閉じている集合（ベクトル空間）であり、 次のものはすべてベクトルとして扱える。

• 数の並び ${ℝ}^n$
• 関数（足せる、定数倍できる）
• 行列
• 量子状態（複素ベクトル空間の元）

「何であるか」ではなく「どんな演算ができるか」で定義するのが、 線形代数の抽象化の核心。

この分野での意味#

最適化では解候補そのものが ${ℝ}^n$ のベクトル。 $n$ が次元で、探索空間の広がりを決める。

量子計算では $n$ 量子ビットの状態が $2^n$ 次元の複素ベクトルになる。 次元がビット数に対して指数的に増えることが、 古典計算機でのシミュレーションを難しくしている。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 6th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2023. 講義は MIT OCW 18.06 で公開 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/