対称行列

$$A^{\top }=A$$

スペクトル定理#

対称行列は特別に良い性質を持つ。実対称行列 $A$ は必ず

• 実数の固有値を持つ
• 直交する固有ベクトルの組を持つ
• 直交行列 $Q$ で対角化できる

$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\top }$$

複素行列ではエルミート行列が 同じ役割を持つ。

なぜ重要か#

実際に現れる行列の多くが対称だから。

行列	対称である理由
ヘッセ行列	偏微分の順序交換（Schwarz の定理）
共分散行列	$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$
グラフのラプラシアン	無向グラフの隣接関係が対称
$A^{\top }A$	転置を取れば同じ

固有値が実数で固有ベクトルが直交する、という保証があるので、 対角化して考えるのが常に有効になる。

数値的な注意#

理論上は対称でも、計算の過程で丸め誤差により わずかに非対称になることがある。 CMA-ES の共分散行列でも 明示的に対称化する処理が入る。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. https://doi.org/10.1137/1.9780898719574