行列

数を長方形に並べたもの。ただし本質は線形写像の表現にある。

$$A\in {ℝ}^{m\times n},A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$$

数の並びではなく、変換#

$Ax$ は「$A$ という変換を $x$ に施した結果」。 線形写像と行列は 1 対 1 に対応し、 行列の各列は基底ベクトルの行き先を表す。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}|& & |\\ A{e}_1& \cdots & A{e}_n\\ |& & |\end{array}\right)$$

この見方をすると、行列の積が写像の合成であることも、 逆行列が逆写像であることも自然になる。

特別な形#

名前	条件	効いてくる場面
対称	$A^{\top }=A$	ヘッセ行列、共分散行列
直交	$A^{\top }A=I$	回転。長さを変えない
正定値	$x^{\top }Ax>0$	凸性、共分散の妥当性
エルミート	$A^{†}=A$	量子力学の観測量
ユニタリ	$U^{†}U=I$	量子ゲート

参考文献#

• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 6th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2023. 講義は MIT OCW 18.06 で公開 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/