量子ゲート

量子状態に作用するユニタリ変換。 古典の論理ゲートに対応するが、必ず可逆。

1 量子ビットゲート#

$$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

ゲート	働き
$X$	ビット反転。古典 NOT に対応
$Z$	位相反転。$\Vert 1⟩$ の符号を変える
$H$（アダマール）	重ね合わせを作る。$\Vert 0⟩\to \Vert +⟩$
$R_z(\theta )$	位相回転。連続パラメータ

$R_z(\theta )$ のようなパラメータ付きゲートが、 変分アルゴリズムの基礎になる。

2 量子ビットゲート#

CNOT が代表。制御ビットが $|1⟩$ のとき標的を反転する。

$$\mathrm{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

CNOT はもつれを作れる。

$$|+⟩|0⟩\stackrel{\stackrel{}{\text{CNOT}}}{\to }\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$$

1 量子ビットゲートだけではもつれを作れないので、 2 量子ビットゲートが本質的に必要。

万能ゲートセット#

1 量子ビットゲート全体 + CNOT で任意のユニタリを作れる。

実機では有限個のゲートしか実装できないが、 Clifford + T のような離散集合でも Solovay-Kitaev の定理により効率的に近似できる。

誤り率の非対称性#

実機では2 量子ビットゲートの誤り率が 1 桁ほど高い。 そのため回路の設計では、 CNOT の数（特に接続の遠いビット間のもの）を減らすことが 実効的な性能を大きく左右する。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/