ブロッホ球

1 量子ビットの状態を、 3 次元の球面上の点として表す図。

$$|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$$

$(\theta ,\varphi )$ が球面の極座標。

主な点#

位置	状態
北極	$\Vert 0⟩$
南極	$\Vert 1⟩$
$x$ 軸上	$\Vert \pm ⟩=(\Vert 0⟩\pm \Vert 1⟩)/\sqrt{2}$
$y$ 軸上	$(\Vert 0⟩\pm i\Vert 1⟩)/\sqrt{2}$

直交する状態が対蹠点（$|0⟩$ と $|1⟩$ が北極と南極）になる点が ヒルベルト空間の直交と食い違うので注意。 角度が半分になっているため。

ゲート = 回転#

1 量子ビットゲートは、 すべてブロッホ球上の回転として表せる。

ゲート	回転
$X$	$x$ 軸まわり $180°$
$Z$	$z$ 軸まわり $180°$
$H$	$(x+z)/\sqrt{2}$ 軸まわり $180°$
$R_z(\theta )$	$z$ 軸まわり $\theta$

回転なので長さが保たれ、常に球面上に留まる。 これがユニタリ性の幾何的な意味。

内部は混合状態#

球の表面が純粋状態、内部が混合状態、 中心が最大混合状態。

$$\rho =\frac{1}{2}(I+\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\sigma }),|\overrightarrow{r}|\le 1$$

デコヒーレンスは 点を中心へ引き寄せる操作として描ける。 ノイズの効果を視覚化する標準的な道具。

2 量子ビット以上には使えない#

ブロッホ球が使えるのは 1 量子ビットまで。 $n$ 量子ビットの状態空間は $2^{n+1}-2$ 実次元で、 もつれを含む構造は 3 次元では描けない。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/