転置行列 — 知識ノート

行と列を入れ替えた行列。

{(A^{⊤})}_{i j} = A_{j i}

内積を通した意味#

転置の本質は、内積との関係にある。

⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{⊤} y ⟩

「 $A$ を左辺から右辺へ移すと転置がつく」。これが転置の定義だと考えた方が、性質を覚えるより見通しが良い。

複素の場合は共役も取る（エルミート共役 $A^{†}$ ）。内積が複素共役を含むため。

{(A B)}^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}, {(A^{⊤})}^{⊤} = A

積で順序が入れ替わるのは、上の内積の式から直ちに従う。

Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 6th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2023. 講義は MIT OCW 18.06 で公開 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/