行列式

正方行列に対して定まる 1 つのスカラー $\det A$。

意味は体積の倍率#

$A$ による変換で、単位体積がどれだけ拡大されるか。

• $|\det A|=2$ … 体積が 2 倍になる
• $\det A<0$ … 向きが反転する（鏡映を含む）
• $\det A=0$ … 体積が潰れる。より低い次元に押し込まれている

$\det A=0$ が逆行列の非存在と同値なのは、 潰れた情報は戻せないからと読める。

性質#

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B,\det (A^{\top })=\det A,\det (A^{-1})=1/\det A$$

体積倍率と考えれば、積の式は「2 回変換すれば倍率は掛け算」で自然。

固有値との関係も重要。

$$\det A=\prod _i{\lambda }_i$$

数値計算では使わない#

余因子展開は $𝒪(n!)$ で論外。 LU 分解して対角成分の積を取れば $𝒪(n^3)$ だが、 そもそも行列式で特異性を判定するのは推奨されない。 値がスケールに強く依存するため（$\det (cA)=c^n\det A$）、 ${10}^{-20}$ でも特異とは限らない。 特異性の判定には条件数や 特異値を使う。

参考文献#

• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 6th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2023. 講義は MIT OCW 18.06 で公開 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
• Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. https://doi.org/10.1137/1.9780898719574