逆行列

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$

$A$ が表す線形写像の逆写像にあたる行列。

存在条件#

正方行列 $A$ について、次はすべて同値。

• $A^{-1}$ が存在する
• $\det A\ne 0$（行列式が 0 でない）
• ランクが $n$（フルランク）
• 列ベクトルが線形独立
• $Ax=0\Rightarrow x=0$
• 固有値に 0 が無い

どれか 1 つ確かめれば残りも言える。

計算してはいけない#

$Ax=b$ を解くとき、$A^{-1}$ を求めて掛けるのは悪手。

• 計算量が多い（$𝒪(n^3)$ だが定数が大きい）
• 数値誤差が大きい

LU 分解して前進・後退代入する方が速く、精度も良い。 NumPy でも np.linalg.solve(A, b) を使い、 inv(A) @ b は避けるのが定石。

悪条件#

$\det A$ が 0 に近いと、$A^{-1}$ は存在しても 数値的に信用できない。この度合いを測るのが 条件数で、 $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ が大きいほど、 入力の小さな誤差が解に拡大される。

参考文献#

• Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. https://doi.org/10.1137/1.9780898719574
• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 4th ed. Johns Hopkins University Press, 2013. https://www.press.jhu.edu/books/title/10678/matrix-computations