線形独立

$$c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k=0⟹c_1=\cdots =c_k=0$$

どのベクトルも、他のベクトルの組み合わせで作れないという条件。

意味#

線形従属なら、少なくとも 1 本は冗長。 $v_3=2v_1-v_2$ なら $v_3$ は新しい方向を持っていない。

だから線形独立性は「それぞれが独立した情報を持っているか」の判定になる。

どこで効くか#

• 基底の定義。空間を張り、かつ無駄がない組
• ランクは線形独立な列の最大個数
• 回帰分析での多重共線性。説明変数がほぼ線形従属だと 条件数が悪化し、係数推定が不安定になる

数値的には程度問題#

浮動小数点の世界では、独立か従属かの二値ではなく どれだけ独立に近いかを見る。 特異値の最小値が 0 に近ければ、 数値的には従属とみなす。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/