基底

空間を張り、かつ線形独立なベクトルの組。

$$\text{任意の }x\text{ が }x=\sum _i{c}_i{b}_i\text{ と一意に書ける}$$

「張る」は全部作れること、「線形独立」は 無駄がないこと。両方あって初めて表現が一意になる。

基底は 1 つではない#

同じ空間に無数の基底がある。標準基底 $e_1,\dots ,e_n$ は そのひとつにすぎない。

どの基底を選ぶかで問題の見え方が変わる、というのが線形代数の実用的な要点。

選ぶ基底	得られること
固有ベクトル	行列が対角になる
共分散行列の固有ベクトル	主成分分析。分散が最大の方向
フーリエ基底	周波数成分に分解される

CMA-ES が固有値分解するのも、 探索に都合の良い基底へ移るため。

次元#

基底の個数はどの基底を選んでも同じで、これを次元と呼ぶ。 $n$ 量子ビットの状態空間は $2^n$ 次元。

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/