固有値・固有ベクトル

$$Av=\lambda v(v\ne 0)$$

その行列で写しても向きが変わらないベクトル $v$ と、 そのときの伸び縮みの倍率 $\lambda$。

なぜ特別なのか#

一般のベクトルは $A$ で写すと向きも長さも変わる。 固有ベクトルだけは向きが保たれ、スカラー倍されるだけ。

つまり固有ベクトルの方向に注目すれば、 行列の作用がただの掛け算になる。 これが対角化の出発点。

求め方（理論）#

$$\det (A-\lambda I)=0$$

この特性方程式を解く。ただし数値計算ではこの方法は使わない。 5 次以上の多項式に解の公式が無く、 係数から根を求めるのは数値的に極めて不安定なため。 実際には QR 法などの反復解法を使う。

どこに現れるか#

場面	固有値・固有ベクトルの意味
共分散行列	固有ベクトル = 分散が最大の方向（主成分）
ヘッセ行列	固有値の符号で極小・極大・鞍点が決まる
量子力学の観測量	固有値 = 観測されうる値、固有状態 = そのときの状態
CMA-ES	探索分布の楕円の軸と長さ
PageRank	定常分布が固有値 1 の固有ベクトル

参考文献#

• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
• Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997. https://doi.org/10.1137/1.9780898719574