演算子

状態に作用する線形写像。詳しい代数的性質は 数学側のノートにまとめてある。 ここでは物理的な意味を書く。

観測量はエルミート#

測定値が実数でなければならないので、 観測量はエルミート演算子で表される。

物理量	演算子
位置	$\hat{x}$（掛け算）
運動量	$\hat{p}=-i\hslash \partial /\partial x$
エネルギー	ハミルトニアン $\hat{H}$
スピン	パウリ演算子 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$

期待値#

$$⟨A⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩$$

同じ状態を多数用意して測り、平均した値。 1 回の測定では固有値のどれかが出るだけで、 期待値そのものは直接観測できない。

交換しないことの意味#

$[A,B]=AB-BA\ne 0$ なら、$A$ と $B$ は 同時に確定した値を持てない。共通の固有状態が無いため。

位置と運動量 $[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$ から 不確定性関係 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$ が出る。

これは測定装置の限界ではなく、 状態がそもそもそういう性質を持たないという主張。

参考文献#

• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• MIT OCW 8.04 Quantum Physics I https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/