演算子

状態に作用して別の状態を返す写像。 有限次元では行列と同じ。

$$\hat{A}:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$$

種類と役割#

種類	条件	役割
エルミート	$A^{†}=A$	観測量。固有値が測定値
ユニタリ	$U^{†}U=I$	時間発展、量子ゲート
射影	$P^2=P=P^{†}$	測定
密度演算子	半正定値、トレース 1	混合状態の表現

交換子#

$$[A,B]=AB-BA$$

行列の積が非可換であることの物理的な帰結がここに現れる。

$[A,B]\ne 0$ なら $A$ と $B$ は同時に確定値を持てない。 共通の固有ベクトルを持てないため。

不確定性関係

$$\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B\ge \frac{1}{2}\left|⟨[A,B]⟩\right|$$

は、この非可換性を定量化したもの。 位置と運動量で $[x,p]=i\hslash$ だから $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \hslash /2$ になる。

不確定性は測定技術の限界ではなく、演算子の代数から出てくる。

パウリ演算子#

$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

エルミートかつユニタリ。 1 量子ビットの観測量も、ゲートも、これらで書ける。 $\{I,{\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z\}$ が $2\times 2$ エルミート行列の基底をなすため、 任意の観測量をパウリ演算子の和に分解できる。 VQE でハミルトニアンをパウリ項の和に書き直すのはこの性質による。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280