線形写像 — 知識ノート

f (x + y) = f (x) + f (y), f (c x) = c f (x)

この 2 つを満たす写像。足してから写しても、写してから足しても同じ。

行列との対応#

有限次元では、線形写像と行列は 1 対 1 に対応する。基底を決めれば、写像は行列で表せる。

A = (f (e_{1}) \dots f (e_{n}))

列は基底ベクトルの行き先。これが行列の意味の出発点。

線形なら、基底の行き先だけ知れば全部わかる。 $n$ 個の情報で無限個の入力に対する出力が決まる。線形代数がこれほど強力なのはこの性質のため。

逆に言えば、非線形な現象は線形代数だけでは扱えない。微分が有用なのは、 局所的に線形近似することで線形代数の道具を持ち込めるから。ヤコビ行列がその線形近似そのもの。

量子力学の時間発展は線形（シュレディンガー方程式が線形）。これは物理的な要請ではなく理論の構造で、重ね合わせ状態が重ね合わせのまま発展することを保証する。量子ゲートがユニタリ行列で表せるのはこのため。

Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right, 4th ed. Springer, 2024.（全文公開） https://linear.axler.net/
Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. 講義は MIT OCW 18.06 https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/