Dirac記法

量子力学の標準的な記法。ブラケット記法。

記法	読み	実体
$\Vert \psi ⟩$	ケット	列ベクトル
$⟨\psi \Vert$	ブラ	行ベクトル（共役転置）
$⟨\varphi \Vert \psi ⟩$	ブラケット	内積。スカラー
$\Vert \psi ⟩⟨\varphi \Vert$	外積	行列

「bracket」を「bra」と「ket」に割ったのが名前の由来。

なぜ便利か#

演算の型が記号の形で分かる。

• $⟨|⟩$ … 内積。スカラー
• $|⟩⟨|$ … 外積。演算子

$$⟨\varphi |A|\psi ⟩$$

これを「$⟨\varphi |$ と $A|\psi ⟩$ の内積」とも 「$⟨\varphi |A$ と $|\psi ⟩$ の内積」とも読める。 結合則がそのまま記法に埋め込まれている。

完全性関係#

$$\sum _i|i⟩⟨i|=I$$

正規直交基底の射影の和が恒等演算子。 これを式の途中に挿入すると基底展開ができる。

$$|\psi ⟩=\sum _i|i⟩⟨i|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|i⟩$$

$c_i=⟨i|\psi ⟩$ が確率振幅。

計算基底#

量子計算では $|0⟩,|1⟩$ を基底に取る。

$$|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$

複数ビットは $|01⟩=|0⟩\otimes |1⟩$ と テンソル積で書く。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• J. J. Sakurai, Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 3rd ed. Cambridge University Press, 2020. https://doi.org/10.1017/9781108587280
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/