複素共役

$$\overline{z}=a-bi(z=a+bi)$$

虚部の符号を反転する。極形式では $\overline{r{e}^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$（回転が逆向き）。

性質#

$$z\overline{z}=|z{|}^2,\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2},\overline{\overline{z}}=z$$

$z\overline{z}$ が非負の実数になることが、 確率を作るのに使われる。

量子計算での現れ方#

$$P(x)=|⟨x|\psi ⟩{|}^2=⟨x|\psi ⟩\overline{⟨x|\psi ⟩}$$

複素振幅から実数の確率を作るのが共役の役割。

行列に対しては転置と組み合わせて エルミート共役 $A^{†}={\overline{A}}^{\top }$ になる。

ブラとケット#

Dirac 記法では

$$⟨\psi |=(|\psi ⟩{)}^{†}$$

ケット $|\psi ⟩$（列ベクトル）に対し、 ブラ $⟨\psi |$ は共役転置した行ベクトル。 だから $⟨\psi |\psi ⟩$ が内積になる。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667