テンソル積

複数の系を合成する演算。$\otimes$。

$$|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩\in {ℂ}^m\otimes {ℂ}^n={ℂ}^{mn}$$

次元が掛け算になる#

これが量子計算の力の源であり、 古典シミュレーションが困難な理由でもある。

量子ビット数	状態空間の次元
1	2
10	1,024
50	$1.1\times {10}^{15}$
300	観測可能な宇宙の原子数を超える

$n$ 個の系を合成すると次元は $2^n$。 古典の $n$ ビットが $n$ 個の値しか持たないのに対し、 量子は $2^n$ 個の複素振幅を持つ。

具体的な計算#

$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ac\\ ad\\ bc\\ bd\end{array}\right)$$

行列も同様（クロネッカー積）。 $(A\otimes B)(|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩)=A|\psi ⟩\otimes B|\varphi ⟩$ なので、 各系に独立に作用するゲートは分解できる。

エンタングルメント#

テンソル積の形に書けない状態が存在する。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)\ne |\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩$$

これが量子もつれ。 「2 つの粒子の状態」を別々に書けず、 全体としてしか記述できない。 量子計算が古典を上回りうる源泉のひとつとされる。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/