目的関数

解の良し悪しを 1 つの実数で表す関数。 コスト関数、損失関数、 評価関数、エネルギーとも呼ばれる。呼び名は分野の慣習で変わるだけで、 指しているものは同じ。

$$f:{ℝ}^n\to ℝ$$

1 つの実数にすることの意味#

最適化アルゴリズムは「$f(x_1)$ と $f(x_2)$ のどちらが小さいか」しか見ない。 だから多目的の問題（速さも安さも欲しい）は、そのままでは扱えない。 重み付き和で 1 本にまとめるか、多目的最適化の枠組みに移る必要がある。

重み付けで 1 本にまとめた瞬間に、「どの重みを選ぶか」という別の判断が 問題の中に持ち込まれることには注意がいる。

評価コストという軸#

同じ $f$ でも、1 回計算するのに何がかかるかで手法選びが変わる。

評価にかかるもの	例	向く手法
マイクロ秒	数式で書ける関数	何でもよい
秒〜分	シミュレーション	進化計算、ベイズ最適化
実験・実機	量子デバイスでの期待値測定	評価回数を強く制限する手法

量子計算の文脈では、$f$ の 1 回の評価が有限ショットのサンプリングであるため、 戻り値そのものが確率的にぶれる。この場合は SPSA のようにノイズを前提とした手法が要る。

参考文献#

• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization, §1.1. Cambridge University Press, 2004. https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/
• Kalyanmoy Deb. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. Wiley, 2001. https://www.wiley.com/en-us/Multi+Objective+Optimization+using+Evolutionary+Algorithms-p-9780471873396