量子エントロピー

$$S(\rho )=-\mathrm{Tr}(\rho \log \rho )=-\sum _i{\lambda }_i\log {\lambda }_i$$

von Neumann エントロピー。${\lambda }_i$ は 密度行列の固有値。

古典の Shannon エントロピーを、 固有値の分布に対して適用した形になっている。

値の範囲#

状態	$S$
純粋状態	0
最大混合状態（$d$ 次元）	$\log d$

純粋状態のエントロピーは 0。 最大限に知っているから。

古典と違うところ#

古典では、全体のエントロピーは部分のそれ以上になる。

$$H(AB)\ge H(A)$$

量子ではこれが破れる。

$$S(AB)=0<S(A)=\log 2(\text{Bell 状態})$$

全体は確定しているのに部分は完全に不確定。 条件付きエントロピー $S(A|B)=S(AB)-S(B)$ が 負になりうるという形でも現れる。 負の条件付きエントロピーはもつれの指標になる。

使われ方#

• エンタングルメントの尺度（純粋状態の場合）
• 量子情報理論の符号化定理 — Schumacher 圧縮の限界を与える
• テンソルネットワーク — エントロピーの増え方（面積則）が 古典シミュレーションの可否を決める

参考文献#

• Mark M. Wilde. Quantum Information Theory, 2nd ed. Cambridge University Press, 2017. https://doi.org/10.1017/9781316809976
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/