部分トレース

複合系から一方の系だけを取り出す操作。

$${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B({\rho }_{AB})$$

$B$ の自由度について和を取る（トレースアウトする）。

全体は純粋でも部分は混合#

$$|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$$

これは純粋状態だが、$B$ をトレースアウトすると

$${\rho }_A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\frac{I}{2}$$

最大混合状態。$A$ 単独では何の情報も無い。

これは古典確率では起こりえない。 全体を完全に知っているのに、部分については何も知らない、という状況。 情報が相関の中にあることを意味する。

エンタングルメントの定量化#

${\rho }_A$ がどれだけ混合しているかが、 そのままもつれの強さを表す。 エントロピー $S({\rho }_A)$ が エンタングルメントエントロピーと呼ばれる所以。

• $S({\rho }_A)=0$ … 積状態。もつれていない
• $S({\rho }_A)=\log 2$ … 最大もつれ（1 量子ビットの場合）

ノイズの記述#

環境 $E$ とのもつれを作り、$E$ をトレースアウトすると 系にノイズが入ったように見える。 これがデコヒーレンスの数学的な記述で、 量子チャネルはこの形で定式化される。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Mark M. Wilde. Quantum Information Theory, 2nd ed. Cambridge University Press, 2017. https://doi.org/10.1017/9781316809976
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/