密度行列

混合状態を含めて量子状態を表す演算子。

$$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$

確率 $p_i$ で状態 $|{\psi }_i⟩$ にある、という状況を表す。

満たすべき条件#

1. エルミート ${\rho }^{†}=\rho$
2. 半正定値 $\rho \ge 0$（確率が非負）
3. トレース 1 $\mathrm{Tr}\rho =1$（確率の総和）

計算の規則#

量	純粋状態	密度行列
期待値	$⟨\psi \Vert A\Vert \psi ⟩$	$\mathrm{Tr}(\rho A)$
時間発展	$U\Vert \psi ⟩$	$U\rho U^{†}$
測定確率	$\Vert ⟨i\Vert \psi ⟩{\Vert }^2$	$\mathrm{Tr}(P_i\rho )$

純粋状態は $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$ として含まれるので、 密度行列の方が一般的な記述。

分解は一意でない#

同じ $\rho$ を与える $\{p_i,|{\psi }_i⟩\}$ は複数ある。 最大混合状態 $\rho =I/2$ は 「$|0⟩$ と $|1⟩$ が半々」とも 「$|+⟩$ と $|-⟩$ が半々」とも書ける。

物理的に意味があるのは $\rho$ であって、分解ではない。 どの分解だったかは原理的に区別できない。

ブロッホ球での表現#

1 量子ビットなら

$$\rho =\frac{1}{2}(I+\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\sigma }),|\overrightarrow{r}|\le 1$$

$|\overrightarrow{r}|=1$ がブロッホ球の表面（純粋状態）、 内部が混合状態、中心が最大混合状態。 ノイズは点を中心へ引き寄せる。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Mark M. Wilde. Quantum Information Theory, 2nd ed. Cambridge University Press, 2017. https://doi.org/10.1017/9781316809976