フォールトトレラント量子計算

誤り訂正そのものに誤りがあっても、全体として正しく計算できる設計。

なぜ必要か#

素朴に誤り訂正しても不十分。

• シンドローム測定に使うゲートも誤る
• 1 つの誤りが複数の量子ビットに伝播しうる
• 訂正操作自体が新たな誤りを持ち込む

これらを考慮しても計算が成立する構成が要る。

しきい値定理#

物理誤り率が、ある一定のしきい値 $p_{\text{th}}$ を下回れば、 任意の長さの計算を任意の精度で実行できる。

必要な資源は $\mathrm{polylog}(1/ϵ)$ 程度で、 多項式的なオーバーヘッドに収まる。

$$p<p_{\text{th}}⟹\text{任意精度が可能}$$

これが量子計算が原理的に実現可能であることの理論的な保証で、 1990 年代後半に確立した。

しきい値の値#

符号と誤りモデルに依存する。

符号	しきい値の目安
連結符号	${10}^{-4}$ 程度
Surface code	約 1%

surface code の緩いしきい値が、実装の現実性を大きく高めた。

誤り伝播を止める設計#

同じ符号ブロック内の複数ビットに 1 つの故障が広がらないよう、 横断的なゲート（ブロック間で 1 対 1 に作用）を使う。

$$\bar{U}=U^{\otimes n}$$

ただし Eastin-Knill 定理により 万能なゲートセットをすべて横断的にはできず、 魔法状態蒸留のような高コストな補助が要る。

現在地#

しきい値を下回る誤り率は一部の実装で達成されつつあり、 Google は 2024 年に符号距離を上げるほど 論理誤り率が下がる領域に入ったと報告した。

しかし実用的な計算に必要な規模（数百万量子ビット）には まだ遠く、理論的な可能性と工学的な実現の間に大きな隔たりがある。

参考文献#

• Dorit Aharonov, Michael Ben-Or. Fault-Tolerant Quantum Computation with Constant Error Rate. SIAM Journal on Computing 38(4), 2008. https://doi.org/10.1137/S0097539799359385
• Austin G. Fowler et al. Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation. Physical Review A 86(3), 2012. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.86.032324
• Craig Gidney, Martin Ekerå. How to factor 2048 bit RSA integers in 8 hours using 20 million noisy qubits. Quantum 5, 2021. https://doi.org/10.22331/q-2021-04-15-433
• John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/