量子微分方程式アルゴリズム

微分方程式を量子計算機で解くアルゴリズム群。

線形微分方程式#

$$\frac{dx}{dt}=Ax+b$$

離散化すれば線形方程式系になるので、 HHL 系の手法が適用できる。 $N$ について対数的な計算量が得られるが、 HHL と同じ但し書き（入力準備、出力の読み出し、条件数）がすべて付く。

Berry らは時間刻みを工夫し、 精度 $ϵ$ に対して $\mathrm{poly}(\log (1/ϵ))$ の 依存性を持つ手法を与えた。

非線形微分方程式#

こちらは本質的に難しい。 量子力学の時間発展は線形なので、 非線形性を直接表現できない。

Carleman 線形化などで非線形系を 無限次元の線形系に埋め込む手法が提案されているが、 非線形性が強いと必要な資源が急増する。 Liu らは弱い非線形性に限れば効率的に解けることを示したが、 適用範囲は限定的。

何が課題か#

課題	内容
入力	初期条件を量子状態として準備するコスト
出力	解が量子状態。全体を読み出すと加速が消える
非線形	線形なユニタリ発展との相性が悪い
実機	深い回路が要り、NISQ では実行できない

流体力学や気象のような大規模な非線形 PDE への応用は しばしば期待として語られるが、 現時点で実用的な優位性は示されていない。

参考文献#

• Dominic W. Berry et al. Quantum algorithm for linear differential equations with exponentially improved dependence on precision. Communications in Mathematical Physics 356, 2017. https://doi.org/10.1007/s00220-017-3002-y
• Jin-Peng Liu et al. Efficient quantum algorithm for dissipative nonlinear differential equations. PNAS 118(35), 2021. https://doi.org/10.1073/pnas.2026805118
• Scott Aaronson. Read the fine print. Nature Physics 11, 2015. https://doi.org/10.1038/nphys3272