量子位相推定

ユニタリ $U$ の固有値の位相を読み出すアルゴリズム。

$$U|u⟩=e^{2\pi i\phi }|u⟩⟶\phi \text{ を推定}$$

仕組み#

1. 制御ビットを重ね合わせにする
2. 制御 $U^{2^k}$ を作用させ、位相キックバックで位相を制御ビットに載せる
3. 逆量子フーリエ変換で位相を読み出す

$t$ 個の制御ビットで $t$ ビットの精度が得られる。

多くのアルゴリズムの部品#

アルゴリズム	QPE の使い道
Shor	周期発見
量子化学	エネルギー固有値の推定
HHL	行列の固有値の逆数を作る

基底エネルギーを求める正攻法が QPE。 VQE より精度保証が明確で、 必要な精度に対して系統的に資源を増やせる。

なぜ NISQ で使えないのか#

制御 $U^{2^k}$ を $k=0,\dots ,t-1$ について作用させるので、 回路の深さが精度に対して指数的に増える。

化学的精度（1 kcal/mol）を得るには $t\approx 20$ 以上が必要で、 $2^{20}$ 回ぶんの時間発展を誤りなく実行しなければならない。 現在のコヒーレンス時間では不可能。

だから NISQ 期には VQE が使われる。 VQE は浅い回路で済むが、精度保証と収束性を犠牲にしている。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Alexei Yu. Kitaev. Quantum measurements and the Abelian Stabilizer Problem. 1995. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9511026
• Marco Cerezo et al. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics 3, 2021. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00348-9