テンソル積 — 知識ノート

複数の量子系を合成する演算。数学的な定義と性質は数学側のノートにまとめてある。ここでは物理としての意味を書く。

合成系の公準#

量子力学の第 4 公準： 複合系の状態空間は、各部分系の状態空間のテンソル積。

ℋ_{A B} = ℋ_{A} \otimes ℋ_{B}

古典なら「 $A$ の状態」と「 $B$ の状態」の組で表せるが、量子では組では表せない状態（もつれ）が生じる。

	古典 $n$ ビット	量子 $n$ ビット
状態の記述	$n$ ビット	$2^{n}$ 個の複素振幅
50 ビット	50 ビット	$10^{15}$ 個の複素数

古典計算機で量子系をシミュレートするのが困難な理由がこれ。 Feynman が量子計算機を構想した動機でもある。

$A$ だけに作用するゲートは $U_{A} \otimes I_{B}$ 。テンソル積の構造により、局所操作はもつれを増やせない。もつれを作るには CNOT のような 2 量子ビットゲートが要る。

これが量子回路で 2 量子ビットゲートが特別に扱われる理由で、実機でも 1 量子ビットゲートより誤り率が 1 桁高い。

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
John Preskill. Quantum Computation Lecture Notes (Caltech Ph219/CS219) https://www.preskill.caltech.edu/ph219/
Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics 21, 1982. https://doi.org/10.1007/BF02650179