量子測定

物理としての測定を、情報理論の枠組みで一般化したもの。

3 つのレベル#

形式	記述
射影測定 (PVM)	$P_i$ が直交射影。$\sum P_i=I$
POVM	$E_i\ge 0$、$\sum E_i=I$。直交性を要求しない
一般測定	測定演算子 $M_i$。測定後の状態も指定

POVM が最も広く、 補助系を足して射影測定する操作すべてを含む。

POVM が必要な場面#

非直交な状態を区別したい場合、 射影測定では最善にならないことがある。

$|0⟩$ と $|+⟩$ は直交しないので完全には区別できない。 このとき

• 誤り確率を最小にする（最小誤り識別）
• 「分からない」という答えを許して、答えるときは必ず正しい（曖昧性なし識別）

といった戦略があり、後者は 3 要素の POVM で実現される。 射影測定では作れない。

測定は情報の取得#

測定によって得られる古典情報の量には上限がある。

$$I(X;Y)\le S(\rho )-\sum _i{p}_{i}S({\rho }_i)$$

Holevo 限界。$n$ 量子ビットから取り出せる古典情報は 高々 $n$ ビット。$2^n$ 個の振幅を持っていても、 測定で取り出せる情報は $n$ ビットに制限される。

これが「量子計算は全可能性を並列に試す」という 素朴な描像が成立しない理論的な理由。

参考文献#

• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2010. https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667
• Mark M. Wilde. Quantum Information Theory, 2nd ed. Cambridge University Press, 2017. https://doi.org/10.1017/9781316809976
• Alexander S. Holevo. Bounds for the quantity of information transmitted by a quantum communication channel. Problems of Information Transmission 9(3), 1973. https://www.mathnet.ru/eng/ppi903