真理値

命題が取る値。古典論理では真 (T) と偽 (F) の 2 つだけ。

真理値表#

複合命題の真偽を、構成要素の真偽から機械的に決める表。 $n$ 変数なら $2^n$ 行。

$$\begin{array}{ccccc}P& Q& P\wedge Q& P\vee Q& P\to Q\\ T& T& T& T& T\\ T& F& F& T& F\\ F& T& F& T& T\\ F& F& F& F& T\end{array}$$

二値でない論理#

古典論理の「排中律」$P\vee \neg P$ を認めない立場もある。

• 直観主義論理 — 構成的な証明のみを認める。 背理法による存在証明を使わない。 型理論・プログラム検証と対応する（Curry-Howard 対応）
• 多値論理・ファジー論理 — 真理値を $[\mathrm{0,1}]$ に拡げる

量子論理との違い#

量子力学では観測量が可換でないため、 古典論理の分配律が成り立たない体系（量子論理）が提案された。

ただし量子計算は量子論理を使わない。 量子回路は ユニタリ行列による線形代数であって、 論理体系を置き換えるものではない。 混同されやすい点。

参考文献#

• Herbert B. Enderton. A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed. Academic Press, 2001. https://doi.org/10.1016/b978-0-08-049646-7.50005-9
• Stanford Encyclopedia of Philosophy. Intuitionistic Logic. https://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/