古典最適化との関係

VQE のパラメータ探索は、 ブラックボックス最適化として見ると 極めて厳しい条件が揃っている。

条件#

条件	内容
評価が確率的	期待値は有限ショットの標本平均。値がぶれる
評価が高価	1 点あたり多数のショット × 項数
勾配が高い	パラメータシフト則で $𝒪(p)$ 回の回路実行
非凸	局所解が多数。初期値依存が強い
barren plateau	勾配の分散が量子ビット数に対し指数的に減衰

barren plateau#

McClean らが示した現象。 ランダムに初期化された深い回路では

$$\mathrm{Var}\left[\frac{\partial ⟨H⟩}{\partial \theta }\right]\sim 𝒪(2^{-n})$$

景観が指数的に平坦になる。 勾配法もランダム探索も等しく進めないので、 最適化器を変えるだけでは解決しない。

対処は Ansatz 側にある。

• 浅い回路にする
• 問題の構造を反映した Ansatz を使う
• 賢い初期化（層ごとに段階的に学習する）
• 局所的な観測量を使う（大域的な観測量ほど平坦になりやすい）

使われる最適化器#

手法	選ばれる理由
SPSA	次元によらず 2 回の評価。ノイズ前提の設計
CMA-ES	順位のみ使うためノイズに頑健
L-BFGS-B	勾配が信頼できるなら速い。ノイズに弱い
Nelder-Mead	実機では不安定。値の比較で動くため

実測に基づく比較は 量子化学 VQA での最適化器ベンチマークと ノイズ景観での最適化戦略を参照。

参考文献#

• Jarrod R. McClean et al. Barren plateaus in quantum neural network training landscapes. Nature Communications 9, 2018. https://doi.org/10.1038/s41467-018-07090-4
• Marco Cerezo et al. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics 3, 2021. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00348-9
• James C. Spall. Implementation of the Simultaneous Perturbation Algorithm for Stochastic Optimization. IEEE TAES 34(3), 1998. https://doi.org/10.1109/7.705889