VQEの仕組み

手順#

1. パラメータ $\theta$ で試行状態 $|\psi (\theta )⟩$ を作る
2. 期待値 $⟨\psi (\theta )|H|\psi (\theta )⟩$ を測定で推定する
3. 古典最適化器が $\theta$ を更新する
4. 収束するまで 1〜3 を繰り返す

量子と古典の往復が特徴で、ハイブリッドアルゴリズムと呼ばれる。

役割分担#

担当	仕事	理由
量子	状態の準備と測定	古典では $2^n$ 次元を扱えない
古典	パラメータの更新	最適化の道具が揃っている

量子側は浅い回路を多数回実行するだけで済む。 これがコヒーレンス時間の制約に合う。

変分原理が保証すること#

$$⟨\psi (\theta )|H|\psi (\theta )⟩\ge E_0$$

どんな $\theta$ でも基底エネルギーを下回らない。 だから得られた値は常に上界であり、 低いほど良い（低すぎて誤りということが無い）。

ただし保証されるのはここまでで、

• 最小値に到達できるか … 保証なし（Ansatz の表現力次第）
• 最適化が収束するか … 保証なし（非凸）

測定コストが支配的#

1 回の期待値推定に多数のショットが要り、 ハミルトニアンの項数だけ回路を実行する。 分子系では項数が $𝒪(n^4)$ になるため、 測定回数が実行時間のほとんどを占める。

参考文献#

• Alberto Peruzzo et al. A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor. Nature Communications 5, 2014. https://doi.org/10.1038/ncomms5213
• Jarrod R. McClean et al. The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms. New Journal of Physics 18, 2016. https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/2/023023
• Marco Cerezo et al. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics 3, 2021. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00348-9